صورت مساله  :  بدنه هاي محدب با کمترين مقاومت حرکتي

در اين مساله مي خواهيم  بين بدنه هاي محدب با محور يکسان و با شعاع مشخص که با طولهايشان محدود شده اند شکلي از بدنه را پيدا کنيم که وقتي در داخل مايعي با شرايط فيزيکي خاص داده شده  حرکت مي کند کمترين مقاومت حرکتي را ايجاد نمايد.

تاريخچه مختصر مساله :

اين مساله اولين بار توسط ايزاک نيوتون درسال 1686ميلادي مطرح شد. نيوتون فقط حجم هاي چرخشي را براي اين مساله در نظر گرفت يعني حجم هاي توليد شده توسط توابعي که حول محور افقي مي چرخند. جواب پيشنهادي نيوتون بطور شگفت انگيزي با يک تکه صاف در انتهاي بدنه همراه بود.

نيوتون فرض کرده بود مايع از ذره هايي از انبوهي يکسان ساخته شده است و مقاومت حرکتي از تعامل بين ذره ها و قسمت جلويي بدنه بوجود مي آيد .[ BUTTAZZO, GUASONI 1997]

بعدها رياضي دانان نشان دادند که جوابهاي مساله چرخشي نيوتون جواب بهينه مساله اصلي نيست . [F.BROCK, V.FERONE , B.KAWOHL 1996]  نتايج عددي ارائه شده نيز اين موضوع  را تائيد مي کرد.[T.LACHAND , E.OUDET,2005]

بخشي از مساله که حل شده است :

اين مساله براي حالت چرخشي نيوتون حل شده و جواب بهينه آن نيز پيدا شده است. ولي بعدها نشان داده شد که اين جواب، جواب بهينه مساله اصلي نيست و نيز جوابهايي بهتر از جواب بهينه چرخشي نيوتون پيدا شده است. و حدس زده مي شود که جواب بهينه بدنه هاي لوزي واري با تعدادي قسمت هاي صاف است. اخيرا تعميم هايي از اين مساله کار شده است و نيز براي حالت دو بعدي نيز اين مساله مطرح شده و نشان دادند که براي اين حالت جواب بهينه مي تواند منحصربفرد نباشد

 [J.SILVA, F.M TORRES, 2006 . A. PLAKHOV, TORRES, 2004]

  بر خلاف آنچه براي حالت سه بعدي رخ مي داد[T.LACHAND and M.A.PELETIER,2000]

اکنون ويژگيهاي تئوري مساله اصلي و تقريبهاي عددي موثر به عنوان مسايل باز چالشي باقي مانده اند.

نتيجه گيري

تا کنون حدسهايي که براي شکل بدنه ها با مقاومت مينيمال به دو گروه عمده تقسيم مي شدند: اولي حدس نيوتون بود که حاکي از دوري متقارن بودن کمينه سازها بود که عکس اين  موضوع با دقت بصورت رياضي اثبات شده است. و دومي منظم بودن کمينه سازها بود که اين نيز همان طور که ذکر شد با روشهاي عددي رد گرديد.

آخرين حدس متداول که وجود دارد اين است که  بدنه هاي کمينه ساز به جز در قسمتهاي بالايي و پاييني  يک سطح هموار هستند.

آنچه که اکنون در مورد اين مساله مطرح است و محققين روي آنها کار مي کنند يکي پيدا کردن مباني تئوري در مورد چگونگي و تعداد نقاط بحراني و شکل کلي کمينه سازها و ديگري تعميم وکاربردهاي اين مساله است. و در آخر روشهاي عددي موثرتري که جوابهاي بهتر و با سرعت بيشتري پيدا نمايد.

ايده اي که من خودم به آن علاقه مند شده ام استفاده از شبيه سازي لانه سازي موريانه ها است که در يکي از مقالات 2004 همراه با تاثير دما و باد در حالت سه بعدي شبيه سازي شده است. شايد بتوان از جوابي که به اين وسيله بدست مي آيد به عنوان جواب اوليه براي الگوريتم هاي عددي بکار برد.

منابع :

[1] F.BROCK, V.FERONE and B.KAWOHL, A symmetry problem in calculus of variations, Calculus of Variations 4 (1996), pp.593-599

[2] T.LACHAND-ROBERT and E.OUDET, Minimizing within Convex Bodies Using a Convex Hull Method, SIAM J. Optimization 16 (2005), pp. 368-379 (electronic)

[3] M. COMTE, T.LACHAND-ROBERT, Newton's problem of the body of minimal resistance under a single-impact assumption, Calculus of Variations 12 (2001) pp. 173-211.

[4] T.LACHAND-ROBERT and M.A.PELETIER, Newton’s problem of the body of minimal resistance in the class of convex developable functions, 16th February 2000

[5] CRISTIANA J.SILVA and DELFIM F.M TORRES, Two-dimensional Newton’s Problem of Minimal Resistance, 7 Jul 2006

[6]A.YA. PLAKHOV and DELFIM F.M TORRES, Two-Dimensional Problems of Minimal Resistance in a Medium of Positive Temperature, 9  Apr 2004

[7]GIUSEPPE BUTTAZZO and PAOLO GUASONI , Shape Optimization Problems over Classes of Convex Domains , Journal of Convex Analysis 4 (1997)